Explanation:

Method I:
(a – b)² = a² –2ab + b²
x⁴ – 2x² + k = (x²)² – 2.x².1 + k
⇒   (1²)² – 2.(1)².1 + k = 0
⇒  1 – 2 + k  = 0
⇒ – 1 + k = 0
For a perfect square,
 k = 1.
Method II:
Let's assume x² = m, therefore the given eq. will be:
m² – 2m + k which is a quadratic equation (ax² + bx + c).
Now we know that a quadratic eqn. is a perfect square if its discriminant (b² – 4ac) is equal to zero.
In the eq. a = 1, b = – 2, c = k
∴    (– 2)² – 4 (1).k = 0
–4k = –4
∴ k = 1